PPGMM-MG

Ementa: Teoria Básica: Anéis e ideais, séries formais e inteiros p-ádicos; Módulos, módulos graduados, álgebras, módulos livres; Sequências exatas. Operações com Módulos e Álgebras: soma direta, produto tensorial e exterior, produto simétrico. Localização, propriedades globais-locais, lema de Nakayama, bases minimais; Normalização de Noether; Anéis e módulos Noetherianos e Artinianos; Primos associados, decomposição primária; Completamento de anéis, Teorema de Artin-Rees. Teoria da dimensão, funçõoes de Hilbert; Tópicos adicionais: Anéis e módulos planos, profundidade; Anéis Cohen-Macaulay, anéis normais e regulares, Teorema de Serre-Auslander-Buchsbaum, Complexo de Koszul.

Bibliografia:

(a) M. Atiyah, I. Macdonald, Introduction to Commutative Algebra. Reading, Mass., Addison-Wesley, 1969.

(b) H. Borges, E. Tegan, ´Algebra Comutativa em Quatro Movimentos. Projeto Euclides, IMPA, 2015.

(c) H. Matsumura, Commutative Algebra. Reading, Mass., Benjamin-Commings, 1980.

(d) O. Zariski, P. Samuel, Commutative Algebra, vols. 1, 2. New York, Van Nostrand, 1960.

Ementa: Espaços vetoriais normados, espaços de Banach, propriedades e exemplos destes espaços, formas lineares, teorema de Hahn-Banach, operadores, teorema da limitação uniforme, teorema do gráfico fechado, teorema da aplicação aberta, topologia fraca, espaços de Hilbert e suas propriedades, teorema de representação de Riez e de Lax-Milgran, operadores compactos e sua teoria espectral.

Bibliografia:

(a) M. Reed, B. Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, vol. 1: Functional Analysis. Academic Press, New York, 1979.

(b) E. Kreysig, Introductory Functional Analysis with Applications. Wiley, New York, 1978.

(c) H. Brézis, Analyse Fonctionnelle. Masson, Paris, 1983.

(d) M. Schechter, Principles of Functional Analysis. New York, Academic Press, 1971.

(e) G. Botelho, D. Pellegrino, E. Teixeira. Fundamentos de An´alise Funcional, Textos Universit´arios, SBM, 2015.

Ementa: Resolução de sistemas lineares: métodos diretos e iterativos. Resolução de equações não-lineares: métodos de ponto fixo, Newton. Interpolação polinomial (métodos de Lagrange e de Hermite), splines polinomiais, estimativas de erro. Integração numérica: métodos baseados em polinômios e splines, quadratura Gaussiana, métodos baseados em extrapolação (método Romberg). Resolução numérica de equações diferenciais ordinárias: problemas a valores iniciais, métodos de passo simples e de passo múltiplo. Resolução numérica de equações diferenciais ordinárias: problemas de contorno, métodos de diferenças finitas, e/ou colocação e/ou elementos finitos.

Bibliografia:

(a) J. Stoer, R. Bulirsch, Introduction to Numerical Analysis. Springer, Berlin, 1980.

(b) E. Isaacson, H. B. Keller, Analysis of Numerical Methods. Wiley, 1966.

(c) H.R. Schwarz, Numerical Analysis - a Comprehensive Introduction. John Wiley & Sons, 1989.

Ementa: Pontos Periódicos Hiperbólicos: teorema de Hartman, teorema da variedade estável, estabilidade, teorema de Kupka-Smale. Exemplos clássicos: Anosov lineares, ferradura de Smale. Conjuntos Hiperbólicos: definição, continuidade dos espaços, hiperbolicidade é uma propriedade aberta. Atratores Hiperbólicos: atrator de Plykin, solenoide. Ferramentas: teorema da variedade estável, lema de inclinação, lema de sombreamento, estrutura de produto local e classes homoclínicas. Axiomas A: decomposição espectral, Omega estabilidade, Omega explosões, partições de Markov. Dinâmica genérica: lema de Franks, closing e connecting lemma (enunciado e consequências).

Bibliografia:

(a) A. Katok, B. Hasselblatt, Introduction to Modern Dynamical Systems. Cambridge University Press, 1995.

(b) M. Shub, Global Stability of Dynamical Systems. Springer-Verlag, 1987.

(c) J. Palis, W. de Melo, Introdu¸c˜ao aos Sistemas Dinˆamicos. IMPA, 1978.

Ementa: Equações não lineares de primeira ordem. O problema de Cauchy para equações quasi-lineares. Equação de Burgers e a condição o choque (condição de Rankine-Hugoniot). Ondas de choque e ondas de rarefação. Equações Hiperbólicos de segunda ordem. Propagação de singularidade. A equação da onda. Equações de Águas Rasas. O teorema de Cauchy-Kowalevski, a identidade de Green e o teorema de unicidade de Holmgren. Soluções fracas; distribuições. Equações elípticas. A Equação de Poisson para a pressão ou função de corrente. Tópicos em análise assintótica de EDP’s: análise assintótica de soluções, análise assintótica de operadores. Aplicações das leis de conservação em diversos modelos.

Bibliografia:

(a) R. Courant, D. Hilbert, Methods of Mathematical Physics, vol. II, Partial Differential Equations. Intersciense Publisher, 1953.

(b) F. John, Partial Differential Equations. Springer-Verlag, 1982.

(c) G.B. Whitham, Linear and Nonlinear Waves. Wiley-Interscience, 1974.

(d) R.B. Bird, W.E. Stewart, E.N. Lightfoot, Transport Phenomena. John Wiley & Sons, 1960.

(e) J. Smoller, Shock Waves and Reaction-Diffusion Equations, vol. 258. Springer Science & Business Media, 2012.

Ementa: Equações de primeira ordem, método das características, choques, soluções fracas. A equação de Laplace: princípio do máximo, o problema de Dirichlet, solução fundamental, existência e unicidade de soluções, função de Green, equação de Poisson: solução fraca, existência e unicidade. A equação do calor: solução fundamental, fórmula do valor médio, princípio do máximo, unicidade, regularidade e existência de soluções, métodos de energia. Equação da onda, o método das médias esféricas, o Princípio de Duhamel, métodos de energia. Transformada de Fourier em L2, Teorema de Plancherel, propriedades básicas e aplicações.

Bibliografia:

(a) R. Courant, D. Hilbert, Methods of Mathematical Physics, vol. I, II. Wiley- Interscience, New York, 1953 e 1962.

(b) E. DiBenedetto, Partial Differential Equations. Birkhauser, Boston, 1995.

(c) L.C. Evans, Partial Differential Equations, second edition. Graduate Studies in Mathematics volume 19, AMS, 2010.

(d) J. John, Partial Differential Equations, 4th edition. New York, Springer, 1982.

Ementa: Métricas Riemannianas. Conexão afim, tensor de curvatura, derivada covariante de tensores. Geodésicas, fluxo geodésico, aplicação exponencial, vizinhanças normais, coordenadas normais, propriedades minimizantes das geodésicas. Campos de Jacobi e pontos conjugados. O tensor curvatura de Riemann, simetrias do tensor curvatura, curvatura seccional, curvaturas de Ricci e escalar. Imersões isométricas: equações de Gauss, Ricci e Codazzi. Variedades completas, Teorema de Hopf-Rinow, Teorema de Hadamard. Espaços de curvatura constante. Variações do comprimento de arco, Teorema de Bonnet-Myers, Teorema de Synge, Teorema de comparação de Rauch. Teorema do índice de Morse.

Bibliografia:

(a) M. Do Carmo, Geometria Riemanniana. Projeto Euclides, IMPA.

(b) S. Gallot, D. Hulin, J. Lafontaine, Riemannian Geometry. Universitext, Springer.

(c) W. Klingenberg, Riemannian Geometry. W. de Gruyter, Berlin.

(d) M. Lee, Riemannian Manifolds: an Introduction to Curvature. Graduate Texts in Mathematics, Springer.

(e) P. Petersen, Riemannian Geometry. Graduate Texts in Mathematics, Springer- Verlag.

Ementa: Introdução: Finalidades da inferência estatística. População e amostra. Amostra aleatória. Parâmetros e estatísticas. Distribuições amostrais. Famílias de distribuições: família locação-escala e família exponencial. Princípio da redução de dados: Estatística suficiente, Estatística minimal, Estatística Completa. Ancilaridade. Suficiência e completitude na família exponencial. Teorema de Basu. Estimação Pontual: Conceitos de estimador. Métodos de estimação - método dos momentos, método dos mínimos quadrados e método de máxima verossimilhança. Propriedades desejáveis em um estimador - não tendenciosidade e variância mínima. Estimadores não viesados de variância mínima uniformemente. Estimação por Intervalo de Confiança: Introdução, métodos para encontrar intervalos, métodos para comparar intervalos/ intervalos ótimos e intervalos assintóticos. Testes de hipóteses: O problema do teste de hipóteses. Hipótese nula e hipótese alternativa. Erros do tipo I e do tipo II. Região crítica e região de aceitação. Nível de significância e valor-p. Função poder. Métodos para encontrar testes - teste da razão de verossimilhança e testes da razão de verossimilhança generalizada. Métodos para avaliação de testes - testes mais poderosos e testes uniformemente mais poderosos. Relação entre testes e intervalos de confiança. Testes assintóticos.

Bibliografia:

(a) P.J. Bickel, K.A. Doksum, Mathematical Statistics: Basic Ideas and Selected Topics, vol. I, second edition. Prentice Hall, 2000.

(b) G. Casella, R.L. Berger, Statistical Inference, second edition. DuxburyPress, 2002.

(c) R. Hogg, A. Craig, Introduction to Mathematical Statistics, 6th edition. Pearson Prentice Hall, 2005.

(d) H. Larson, Introduction to Probability Theory and Statistical Inference. New York, John Willey, 1969.

(e) A.M. Mood, F.A. Graybill, D.C. Boes, Introduction to the Theory of Statistics, third edition. New York, MacGraw-Hill Publishing Company, 1974.

(f) E. Lehmann, G. Casella, Theory of Point Estimation, second edition. Springer, New York, 1998.

(g) E. Lehmann, Testing Statistical Hypotheses, second edition. Springer, New York, 1997.

(h) Y. Pawitan, In All Likelihood: Statistical Modelling and Inference Using Likelihood. Oxford, Clarendon, New York, Oxford University Press, 2001.

Ementa: Grupos de simetria (de Galileo e de Poincaré), mecânica clássica na formulação com invariância de reparametrizações. Problemas variacionais (não) dinâmicos, formalismo Lagrangiano e Hamiltoniano. Teoria de Dirac para sistemas vinculados. Elementos de Relatividade Geral, variedade suave, geometrias de Riemann, simplética e de Poisson. Sistemas Hamiltonianos sobre variedade de Poisson e integrais de movimento. Dinâmica de partículas no espaço curvo.

Bibliografia:

(a) V.I. Arnold, Mathematical Methods of Classical Mechanics, 2nd ed. Springer, New York, NY, 1989.

(b) D.M. Gitman, I.V. Tyutin, Quantization of Fields with Constraints. Springer, Berlin, 1990.

(c) A.A. Deriglazov, ClassicalMechanics: Hamiltonian and Lagrangian Formalism, 2nd ed. Springer, 2017.

(d) S. Weinberg, The Quantum Theory of Fields, vol. 1. Cambridge University Press, Cambridge, 1995.

(e) L.D. Landau, E.M. Lifshitz, The Classical Theory of Fields. Pergamon Press, Oxford, 1980.

(f) P.J. Olver, Applications of Lie Groups to Differential Equations. Springer, New York, NY, 1986.

(g) A.T. Fomenko, V.V. Trofimov, Integrable Systems on Lie Algebras and Symmetric Spaces, Series: Advanced Studies in Contemporary Mathematics. Gordon and Breach Science Publishers, 1988.

(h) A.M. Perelomov, Integrable Systems of Classical Mechanics and Lie Algebras, vol. 1. Birkhauser Verlag, 1990.

Ementa: Famílias de conjuntos e Teorema da Classe Monótona. Funções mensuráveis e espaços de Probabilidade. Medidas de probabilidade, variáveis aleatórias e suas funções de distribuição. Teorema de extensão de Carathéodory, Integração e Propriedades da integral. Esperança matemática. Teoremas de convergência. Independência. Teorema de extensão de Kolmogorov. Esperaça condicional. Teorema de Radon-Nikodym. Convergência em Probabilidade e Convergência Quase Certa. Lei Fraca dos Grandes Números, Lemas de Borel-Cantelli e Lei Forte dos Grandes Números. Convergência em distribuição, funções características e suas propriedades, unicidade e inversão. Teorema de Lyapunov. Teorema de Lindeberg-Feller.

Bibliografia:

(a) P. Billingsley, Probability and Measure. Wiley, New York, 1995.

(b) K.L. Chung, A Course in Probability Theory, second edition. Academic Press, 1974.

(c) R. Durrett, Probability: Theory and Examples. Duxbury Press, 1988.

(d) W. Feller, An Introduction to Probability Theory and its Applications, vol. I, II, second edition. Wiley, 1971.

(e) B. James, Probabilidade: um Curso em Nível Intermediário. Projeto Euclides, 2004.

Ementa: Anéis de inteiros algébricos, discriminantes, bases integrais, corpos quadráticos e ciclotômicos, domínios de Dedekind, decomposição de ideais, extensões de Galois de corpos numéricos, métodos geométricos, o teorema das unidades de Dirichlet, a finitude do grupo de classe.

Bibliografia:

(a) D. Marcus, Number Fields. Springer-Verlag, 1977.

(b) O. Endler, Teoria de Números Algébricos. Projeto Euclides, 2014.

(c) A. Fr¨olich, M.J. Taylor, Algebraic Number Theory. Cambridge, 1991.

Ementa: Conceitos básicos de sistemas dinâmicos: órbitas, conjuntos limites, conjuntos não errantes, transitividade. Exemplos. Medidas invariantes. Topologia fraca no espaço de probabilidades. Teorema de Krillov-Bogolyubov. Teorema de Poincaré. Sistemas unicamente ergódicos. Equidistribuição. Exemplos: rotação irracional, skewproducts. Ergodicidade. Definição e caracterizações equivalentes. Exemplos: Automorfismos do Toro. Shifts de Bernoulli. Decomposição ergódica. Operador de Koopman. Teorema ergódico de Von Neumann. Teorema ergódico de Birkhoff. Aplicações: lei forte dos grandes números. Sistemas misturadores. Equivalência espectral de sistemas dinâmicos. Teorema espectral para operadores unitários. Sistemas com espectro absolutamente continuo. Processos estocásticos e representação de sistemas dinâmicos. Classificação e hierarquia ergódica. Automorfismos de Kolmogorov. Entropia. Definição e propriedades básicas. Teorema de Sinai-Kolmogorov. Cálculo de entropia. Teorema de Shannon-McMillan-Breiman.

Bibliografia:

(a) C. Gutierrez, Introducion a la Teoria Ergodica. Sociedad Matematica de Peru, 2009.

(b) R. Mané, Ergodic Theory and Differentiable Dynamics. Springer-Verlag, 1987.

(c) K. Petersen, Ergodic Theory. Cambridge University Press, 1983.

(d) P. Walters, An Introduction to Ergodic Theory. Spinger-Verlag, 1982.

Ementa: Variedades diferenciáveis, subvariedades, Teorema de Mergulho de Whitney, formas diferenciais, integração de formas, Teorema de Stokes, cohomologia de Rham, grau de Brower, invariância por homotopia, classificação homotópica de aplicações, número de Interseções, índices de singularidades de campos vetoriais, Teorema de Poincaré-Hopf, Teorema de Lefschetz, fibrados e fibrados vetoriais, operações com fibrados vetoriais, curvaturas e conexões.

Bibliografia:

(a) M. Hirsch, Differential Topology. Graduate Texts in Mathematics, 33. Springer- Verlag, New York, 1994.

(b) E.L. Lima, Introdu¸c˜ao `a Topologia Diferencial. Rio de Janeiro, IMPA, 2005.

(c) I.B. Madsen, J. Tornehave, From Calculus to Cohomology. Cambridge University Press, 1997.

(d) J. Milnor, Topology from the Differentiable Viewpoint. Charlottesville, Princeton Univ. Press, 1969.

Ementa: Variedades diferenciáveis, variedades com bordo, variedades orientáveis, imersões mergulhos e subvariedades, transversalidade, partições da unidade e aplicações como existência de métrica Riemanniana, exemplos de fibrados vetoriais, fibrados tangentes e fibrados cotangentes, grupos de Lie, variedades quocientes, variedades homogêneas. Campos de vetores e Teorema de Frobenius. Tópicos adicionais: Topologia de Whitney, Teorema de Sard e Teorema de Mergulho de Whitney.

Bibliografia:

(a) J. Lee, Introduction to Smooth Manifolds. Springer-Verlag, 2002.

(b) E.L. Lima, Variedades Diferenci´aveis, MON-15, IMPA,1973.

(c) M. Spivak, A Comprehensive Introduction to Differential Geometry, vol. 2. Publish or Perish, 1975.

(d) F. Warner, Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups. Springer- Verlag, 1983.

Ementa: Anéis artinianos e noetherianos; Anéis e módulos simples e semissimples. Estrutura de anéis semissimples: o Teorema de Wedderburn-Artin; Estrutura de anéis simples artinianos; O radical de Jacobson: suas diversas caracterizações e J-semissimplicidade; Álgebras centrais simples: extensões de escalares e semissimplicidade; o Teorema de Skolem-Noether; o Teorema de Frobenius. Anéis primitivos e o teorema de densidade de Jacobson. Introdução à PI-teoria: álgebras com identidades polinomiais, polinômios multilineares e T-ideais; identidades e polinômios centrais em álgebras de matrizes; o Teorema de Kaplansky. Álgebras associativas de dimensão finita e suas representações: álgebras de caminhos; Teoria de Morita. Álgebras separáveis e o teorema de Wedderburn-Malcev.

Bibliografia:

(a) B. Farb, R.K. Dennis, Noncommutative Algebra. Springer-Verlag, 1993.

(b) T.Y. Lam, A First Course in Noncommutative Rings. GTM 31, Springer- Verlag, 2001.

(c) S. Lang, Algebra. GTM 211, Springer-Verlag, 2003.

(d) C.P. Milies, S.K. Sehgal, An Introduction to Group Rings. Kluwer Academic Publishers, 2002.

(e) F. Lorenz, Algebra, vol. 2. Springer-Verlag, 2006.

(f) A. Giambruno, M. Zaicev, Polynomial Identities and Asymptotic Methods. AMS, 2005.

Ementa: Definições e primeiros exemplos; Ideais e homomorfismos; Álgebras de Lie solúveis e nilpotentes; Teoremas de Engel e de Lie; Álgebras de Lie semissimples; A forma de Killing; Critérios de Cartan; Espaços de raízes e diagramas de Dynkin; Grupos de Weyl; Álgebras envelopantes; O Teorema de PBW; Representações de álgebras de Lie semissimples. Conexões com Grupos de Lie. Álgebras de Lie modulares e álgebras restritas.

Bibliografia:

(a) J.E. Humphreys, Introduction to Lie Algebras and Representation Theory. Springer, 1994.

(b) L.A.B. San-Martin, Álgebras de Lie. Unicamp, 2010.

(c) R. Carter, Lie Algebras of Finite and Affine Type. Cambridge University Press, 2005.

(d) J. Dixmier, Enveloping Algebras. AMS, GSM 11.

(e) H. Strade, R. Farnsteiner, Modular Lie Algebras and Their Representations. Marcel Dekker, 1988.

Ementa: Cálculo Tensorial. Operador de Laplace-Beltrami. Fórmula de Bochner-Weitzenbock. Comparação do Laplaciano. Comparação de volume de Bishop-Gromov. Teorema da Decomposição de Cheeger-Gromoll. Estimativa do gradiente de funções harmônicas. Teorema tipo-Liouville de Yau para variedades com curvatura de Ricci não-negativa. Espectro do Laplaciano. Teoremas de comparação de autovalor. Teorema da Rigidez de Cheng. Estabilidade de hipersuperfícies mínimas. Métodos não-lineares: variacional, sub e supersoluções, método da continuidade, equação do calor, grau de Leray-Schauder, técnicas de perturbação. Aplicações: teoria de Hodge, curvatura de Gauss prescrita, problema de Dirichlet para superfícies mínimas, fluxo de Ricci em superfícies, aplicações harmônicas. Outros tópicos.

Bibliografia:

(a) T. Aubin, Some Nonlinear Problems in Riemannian Geometry. Springer, 1998.

(b) D. Gilbarg, N.L. Trudinger, Elliptic Partial Differential Equations of Second Order, 3rd edition. Springer, 1998.

(c) J. Jost, Riemannian Geometry and Geometric Analysis. Berlin Heidelberg, New York, Springer-Verlag, 1995.

(d) P. Li, Lecture Notes on Geometric Analysis. University of California, 1992.

(e) R. Schoen, S.T. Yau, Lectures on Differential Geometry. International Press, 1994.

Ementa: Feixes quase-coerentes e coerentes; Fibrados; Cohomologias de Cech e Grothendieck, Teorema do Anulamento de Grothendieck; Cohomologia de esquemas projetivos, Teorema de Serre, Cohomologia das fibras. Feixe de diferenciais, critério de suavidade, imersões regulares e intersecçãao completa local. Feixe canônico, Extgrupos e Feixes, Dualidade de Grothendieck. Divisores de Weil e Cartier, Sistemas Lineares e morfismos. Blowing-up. Teorema de Riemann-Roch para curvas, Teorema de Grothendieck-Riemann-Roch. Tópicos adicionais.

Bibliografia:

(a) R. Hartshorne, Algebraic Geometry. Graduate Texts in Mathematics, Springer Verlag, 1997.

(b) Q. Liu, R. Erne, Algebraic Geometry and Arithmetic Curves. Oxford Graduate Texts in Mathematics, 2006.

Ementa: Combinatória Enumerativa e Teoria dos Grafos: Caminhos, ciclos e árvores. Emparelhamentos. Colorações e número cromático. Inclusão-exclusão e reticulados. Contagem de Pólya. Invariantes polinomiais de grafos. Combinatória Extremal e Teoria de Ramsey: Teorema de Ramsey. Teoremas de Mantel e Turán. Teorema de Erdos-Stone. Estabilidade de Erdos-Simonovits. Método Probabilístico: Introdução a probabilidade discreta. O método do primeiro momento e alterações. O método do segundo momento. Grafos aleatórios. Conjecturas clássicas da combinatória moderna.

Bibliografia:

(a) M. Bóna, A Walk Through Combinatorics: an Introduction to Enumeration and Graph Theory. WPSC, 2011.

(b) B. Bollobás, Modern Graph Theory. Springer, 1998.

(c) J.A. Bondy, U.S.R. Murty, Graph Theory. Springer, 2008.

(d) R. Morris, R.I. Oliveira, Extremal and Probabilistic Combinatorics. IMPA, 2013.

(e) N. Alon, J. Spencer, The Probabilistic Method. Wiley, 2004.

(f) R. Stanley, Enumerative Combinatorics, vol. I. Cambridge, 2011.

Ementa: Espaços de Sobole, aproximações por funções suaves, teoremas de extensão e traço. Desigualdades de Gagliardo-Niremberg-Sobolev e de Morrey. Teorema de compacidade de Rellich-Kondrachov. Desigualdade de Poincaré. Espaço H−1 e espaços envolvendo tempo. Equações elípticas de segunda ordem lineares: soluções fracas, teorema de Lax-Milgram, estimativas de energia, alternativa de Fredholm, regularidade, princípio do máximo, desigualdade de Harnack e autovalores. Equações parabólicas lineares de segunda ordem: soluções fracas, regularidade e princípio do máximo. Equações hiperbólicas lineares de segunda ordem: soluções fracas, regularidade e propagação de singularidades. Semigrupos: definição e propriedades elementares, teorema de Hille-Yosida e aplicações.

Bibliografia:

(a) H. Brézis, Analyse Fonctionnelle. Masson, Paris, 1983.

(b) L.C. Evans, Partial Differential Equations. AMS, Graduate Studies in Mathematics, 2010.

(c) D. Gilbarg, N.L. Trudinger, Elliptic Partial Differential Equations of Second Order, 3rd edition. Springer, 1998.

(d) J. Jost, Partial Differential Equations. Springer, Graduate Texts in Mathematics, 2013.

(e) G. Leoni, A First Course in Sobolev Space. AMS, Graduate Studies in Mathematics, 2009.

Ementa: Folheações Holomorfas: Folheações regulares, Sistemas de Pfaff e Folheações singulares, Teorema de Baum-Kupka, Folheações em espaços projetivos; Integrabilidade de sistemas de Pfaff: Teorema de Integrabilidade de Jouanolou-Ghys, Teorema de não-existência de variedades algébricas invariantes; Classes características de folheações holomorfas: Teorema de Baum-Bott, Teorema de anulamento de Bott, O principio de localização de classes características, Teorema do índice de Camacho-Sad generalizado; Rudimentos da teoria de Mori folheada: Riccati turbulent foliations and fibrations, Modelo nef de uma folheação, Teorema de racionalidade de Miyaoka, Folheações racionalmente conexas; Teorema de Frobenius-Demailly.

Bibliografia:

(a) M. Brunella, Birational Geometry of Foliations. Publicações Matemáticas do IMPA, Instituto de Matemática Pura e Aplicada, Rio de Janeiro, 2004.

(b) C. Camacho, A. Lins Neto, Teoria Geom´etrica das Folhea¸c˜oes, Projeto Euclides, 1979.

(c) J.-P. Demailly, On the Frobenius Integrability of Certain Holomorphic p-Forms. Complex geometry (Gottingen, 2000), Springer, Berlin, 2002.

(d) J. Jouanolou, Équations de Pfaff Alg´ebriques. Lecture Notes in Mathematics 708, 1979.

Ementa: Parte clássica: Variedades afins e projetivas, normalização de Noether, Going-up de Cohen-Seidenberg, Nullstellensatz de Hilbert, morfismos, aplicações racionais, birracionais, variedades lisas e espaço tangente, critério Jacobiano, blowingup ao longo de ideais, Grassmannianas, Polinômios de Hilbert, Teorema de Bézout. Mergulhos projetivos. Introdução aos esquemas: Teoria básica de feixes, espectros de anéis, espaços anelados, esquemas, morfismos de esquemas, esquemas projetivos, noetherianos; esquemas reduzidos e inteiros; dimensão de esquemas, produto fibrado e mudança de base, morfismos separados, próprios e projetivos. Esquemas normais e regulares, critério Jacobiano, morfismos flat, dimensão das fibras, morfismos ètale e suave.

Bibliografia:

(a) R. Hartshorne, Algebraic Geometry. Graduate Texts in Mathematics, Springer Verlag, 1997.

(b) Q. Liu, Algebraic Geometry and Arithmetic Curves. Oxford Graduate Texts in Mathematics, 2006.

(c) D. Mumford, The Red Book of Varieties and Schemes. Lecture Notes in Mathematics, 1999.

Ementa: Cálculo diferencial em variedades complexas: Funções holomorfas em variedades complexas, Fibrados vetoriais, Conexões e Curvatura, Fibrados holomorfos; Classes características via Chern-Wei; Variedades Kahler: Identidades Kahler, Teoria de Hodge em variedades Kahler, Lefschetz hard Theorem, Teorema de Mergulho de Kodaira.

Bibliografia:

(a) A. Neeman, Algebraic and Analytic Geometry. London Math. Soc. Lec. Note Series 345, 2007.

(b) J.-P. Demailly, Complex Analytic and Algebraic Geometry. Institut Fourier, 2012.

(c) P.A. Grifths, J. Harris, Principles of Algebraic Geometry. Wiley, New York, 1978.

Ementa: Homotopia, espaços contráteis. Homotopia de pares e relativa. Homotopia de caminhos, grupo fundamental, espaços simplesmente conexos, propriedades do grupo fundamental. Grupos fundamentais do círculo, dos espa¸cos projetivos reais e complexos. Grupo fundamental dos grupos clássicos. Espaços de recobrimento, teorema fundamental de levantamento, automorfismos de recobrimento. Teorema de Van Kampen e teorema de existência de espaços de recobrimento e aplicações.

Bibliografia:

(a) E.L. Lima, Grupo Fundamental e Espaços de Recobrimento. Projeto Euclides, IMPA, 1998.

(b) W. Massey, A Basic Course in Algebraic Topology. Graduate Text in Mathematics 127, Springer-Verlag, New York, 1991.

(c) E.H. Spanier, Algebraic Topology. Springer, New York, 1966.

Ementa: Grupos nilpotentes, caracterizações e séries centrais (descendentes e ascendentes). p-grupos, séries centrais em p-grupos. Grupos solúveis. O subgrupo de Frattini e as suas caracterizações. Grupos de permutações, grupos de matrizes, exemplos de grupos simples. Representações complexas de grupos finitos; caracteres; ortogonalidade; caracter induzido; reciprocidade de Frobenius; integralidade; semissimplicidade e o Teorema de Maschke; o Teorema de Clifford. O Teorema de Burnside sobre grupos de ordem pa.qb. Caracteres e representa¸c˜oes modulares. Formas sesquilineares; grupos clássicos. Extensões de grupos.

Bibliografia:

(a) D.J.S. Robinson, A Course in the Theory of Groups, 2nd edition. Springer, 1996.

(b) G. James, M. Liebeck, Representations and Characters of Groups. Cambridge University Press, 2001.

(c) I.M. Isaacs, Character Theory of Finite Groups. Academic Press, 1976.

(d) L.C. Grove, Classical Groups and Geometric Algebra. American Mathematical Society, 2001.

(e) H. Kurzweil, B. Stellmacher, The Theory of Finite Groups (An Introduction). Springer, 2004.

Ementa: Teoria clássica de Currie-Weiss (aproximação de campo médio) para sistemas ferromagnéticos, expoentes críticos. O modelo de Ising: Estados de Gibbs a volume infinito, Desigualdades de correlação, Diagramas de fase. Estados de equilíbrio e as equações de Dobrushin-Lanford-Ruelle: estados de equilíbrio, Teorema de unicidade de Dobrushin, decaimento exponencial de correlações truncadas, analiticidade da energia livre, aplicações ao modelo de Ising em altas e baixas temperaturas. Outros tópicos: Métodos de expansão em séries, o Teorema de Lee-Yang, Cluster Expansion, a desigualdade de Simon-Lieb, modelos com simetria contínua.

Bibliografia:

(a) S.Friedli, I, Velenik, Statistical Mechanics of Lattice Systems: A Concrete Mathematical Introduction, Cambridge University Press, 2017.

(b) B. Simon, The Statistical Mechanics of Lattice Gases, vol. I. Princeton University Press, Princeton, 1993.

(c) H.O. Georgii, Gibbs Measures and Phase Transitions. Walter de Gruyter, Berlin, 1988.

(d) R.B. Israel, Convexity in the Theory of Lattice Gases. Princeton University Press, Princeton, 1979.

(e) J. Glimm, A. Jaffe, Quantum Physics: a Functional Integral Point of View, 2nd edition. Springer, New York, 1987.

(f) D. Ruelle, Statistical Mechanics. W. A. Benjamin, London, 1969.

Ementa: Fundamentos matemáticos da mecânica quântica; A equação de Schrodinger; Operadores autoadjuntos e espectro; O teorema espectral e aplicações; Dinâmica quântica; Comportamento assintótico das soluçõe; Operadores de Schrodinger; Sistemas de muitas partículas; Análise semiclássica; Estatística quântica; Segunda quantização; Sistemas com desordem; Análise espectral; Cálculo das varições; Informação e computação; Renormalização; Outros tópicos.

Bibliografia:

(a) S.J. Gustafson, I.M. Sigal, Mathematical Concepts of Quantum Mechanics, segunda edi¸c˜ao. Universitext, Springer, 2011.

(b) O. Buhler, A Brief Introduction to Classical, Statistical and Quantum Mechanics. Courant Series, Volume 13, AMS, 2006.

(c) C.R. de Oliveira, Intermediate Spectral Theory and Quantum Dynamics. Birkhauser, 2009.

(d) Hislop, Sigal, Introduction to Spectral Theory: With Applications to Schr¨odinger Operators. Springer, 1996.

Ementa: Métodos Variacionais: Método de Minimização Direta, Princípio Variacional de Ekeland, Lema de Deformação, Teorema do Passo da Montanha, Princípio de Minimax Geral, Desigualdades de Poincaré e Sobolev, Aplicações: Existência para EDPs elípticas e solução do problema de Yamabe. Métodos Topológicos: Teoria do grau de Brouwer: dimensão finita, Teoria do grau de Leray-Schauder: dimensão infinita, Aplicações: Teoremas de Borsuk-Ulam e de pontos fixos de Brouwer e Schauder, Aplicações: Existência para EDPs elípticas.

Bibliografia:

(a) K. Deimling, Nonlinear Functional Analysis. Springer, 1985.

(b) L.C. Evans, Partial Differential Equations. AMS, 1998.

(c) I. Fonseca, W. Gangbo, Degree Theory in Analysis and Applications. Clarendon Press, Oxford, 1995.

(d) O. Kavian, Introduction a la Theorie des Points Critiques et Applications aux Problemes Elliptiques. Springer, 1993.

Ementa: Cadeias de Markov: Matriz de transição, propriedade de Markov, exemplos, recorrência, transiência e classificação. Estados recorrentes positivos e recorrentes nulos. Equilíbrio, medidas invariantes. Convergência para o equilíbrio, acoplamento. O Teorema Ergódico para Cadeias de Markov. Martingais: propriedades básicas, o Teorema da amostragem opcional, Desigualdade de Doob, desigualdade Lp. Teoremas de convergência. Martingais L1-limitados. Martingais fechados e uniformemente integráveis. O Teorema de Lévy para martingais reversos. Aplicações: Lei Forte dos grandes números. Decomposição de Doob. Processos estacionários: transformações que preservam medida, Teorema de Recorrência. Teorema Ergódico de Birkhoff. Transformações ergódicas e misturadoras. Aplicações. Convergência fraca: Motivação: passeio aleatório e movimento Browniano. Medidas de probabilidades em espaços métricos. Teorema de Portmanteau, Teorema de Prohorov. Compacidade fraca e rigidez em C[0,1]. Construção da medida de Wiener e Princípio de Invariânçia de Donsker.

Bibliografia:

(a) P. Billingsley, Convergence of Probability Measures. Wiley, New York, 1968.

(b) P. Billingsley, Probability and Measure. Wiley, New York, 1995.

(c) L. Breiman, Probability. Classics in Applied Mathematics 07, SIAM, 1992.

(d) R. Durrett, Probability: Theory and Examples. Duxbury Press, 1988.

Ementa: Martingais a tempo contínuo: definições, exemplos, teorema de convergência, tempos de parada, teorema da amostragem opcional, desigualdades fundamentais e aplicações; Processos Markovianos: a propridade forte de Markov. Processos de Feller; Integração Estocástica: a construção da integral estocástica, a fórmula de Ito, o teorema de Girsanov; Noções de Equações Diferenciais Estocásticas.

Bibliografia:

(a) R. Durrett, Stochastic Calculus: a Practical Introduction. Probability and Stochastic Series, CRC Press, 1996.

(b) H.-H. Kuo, Introduction to Stochastic Integration. Universitext, Springer, 2000.

(c) P. M¨orters, Y. Peres, Brownian Motion. Cambridge Series in Statistical and Probabilistic Mathematics, Cambridge, 2010.

Ementa: Exponentes característicos e cociclos lineares. Exponentes de Lyapunov. Teorema de Oseledets. Exemplos: cociclos de Schrodinger e o cociclo derivada. Teoria de Pesin. Variedades invariantes e sistemas não uniformemente hiperbólicos. Exemplos. Fluxos hiperbólicos. O fluxo geodésico em superfícies de curvatura negativa. Ergodicidade: O argumento de Hopf. Sistemas Hamiltonianos e sistemas Lagrangianos. Sistemas integráveis. Aplicações Twist. Exemplos e propriedades. Tangências homoclínicas. O fenômeno de Newhouse. Sistemas robustamente transitivos. Blenders.

Bibliografia:

(a) R. Mané, Ergodic Theory and Differentiable Dynamics. Springer-Verlag, 1987.

(b) M. Viana, Lectures on Lyapunov Exponents. Springer, 2014.

(c) V.I. Arnold, Mathematical Methods of Classical Mechanics. Springer-Verlag, 1989.

(d) C. Ragazzo, M. Carneiro, S. Zanata, Introdu¸c˜ao `a Dinˆamica de Aplica¸c˜oes Tipo Twist. CBM-IMPA, 2005.

(e) B. Hasselblatt, A. Katok, Introduction to the Modern Theory of Dynamical Systems. Cambridge University Press, 1995.

Ementa: Definição de curvas algébricas e superfícies de Riemann, funções meromorfas e diferenciais meromorfas, fórmula de Hurwitz, teorema de Riemann-Roch, teorema de Abel-Jacobi, aplicações, espaços de recobrimento e o teorema de uniformização, relação com a geometria hiperbólica, relação entre superfícies de Riemann e curvas algébricas.

Bibliografia:

(a) H. Farkas, I. Kra, Riemann Surfaces. Berlin, Springer-Verlag, 1980.

(b) P.A. Griffiths, Introduction to Algebraic Curves. Boston, AMS, Trans. Math. Monographs, 76, 1989.

(c) O. Forster, Lectures on Riemann Surfaces. Graduate Texts in Mathematics, 81, Springer-Verlag, New York-Berlin, 1981.

(d) R. Miranda, Algebraic Curves and Riemann Surfaces. Graduate Studies in Mathematics, 5. American Mathematical Society, Providence, RI, 1995.

Ementa: Infinidade de números primos, provas e primeiras cotas para pi(x); Funções aritméticas, aditivas e multiplicativas, funções: de Moebius, Totient de Euler, von Mangoldt, divisores e soma de divisores; Produto de Dirichlet; Propriedades e estimativas assintóticas; Integral logarítmica; Fórmula da Soma de Euler, Somas parciais, formula de Stirling; Método da convolução de aproximação de funções aritméticas, aplicaçõeoes; Teorema de Hardy-Ramanujan sobre o número normal de divisores; Método da hipérbole de Dirichlet, aplicações; Distribuição de primos: Estimativas de Chebyshev, de Mertens e Teorema dos Números Primos (enunciado), consequências; Crivos: de Erastostenes, combinatório de Brun; Large sieves; Crivo de Túran, Crivo de Selberge, Aplicações; Tópicos adicionais: prova do Teorema dos Números Primos, Métodos da Análise Complexa, Função Zeta de Riemann; Teorema de Dirichlet sobre primos em progressão aritmética.

Bibliografia:

(a) T.A. Apostol, Introduction to Analytic Number Theory. Undergraduate Texts in Mathematics, Springer, 2010.

(b) A.C. Cojocaru, M.R. Murty, An Introduction to Sieve Methods and Their Applications. London Mathematical Society Student Texts, 2010.

(c) G.H. Hardy, E.M. Wright, An Introduction on the Theory of Numbers. Oxford University Press, 2008.

Ementa: Operadores lineares limitados e não limitados. Operadores integrais, operadores de multiplicação e operadores diferenciais. O teorema de extensão para operadores limitados. A transformada de Fourier em L1(Rn), S(Rn) e L2(Rn). Distribuições de L. Schwartz, distribuições temperadas e distribuições de suporte compacto. Os espaços de Sobolev Hs(Rn). Aplicações às equações de evolução, lineares e não lineares. Operadores fechados, fecháveis, simétricos e auto-adjuntos. Resolvente e espectro. Integrais de Riemann-Stieltjes e Lebesgue-Stieltjes. O teorema espetral para operadores autoadjuntos nas formas de integrais espectrais, de operador de multiplicação e de cálculo funcional. O teorema de Stone.

Bibliografia:

(a) M. Reed, B. Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, vols. I e II. Academic Press, New York, 1972-1978.

(b) R. Iorio Jr, Fourier Analysis and Partial Differential Equations. Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 2001.

(c) C.R. de Oliveira, Intermediate Spectral Theory and Quantum Dynamics. Birkh¨auser, Basel, Switzerland, 2009.

(d) E. Hille, Methods in Classical and Functional Analysis. Reading, Mass., Addison- Wesley Pub. Co., 1972.

(e) W. Rudin, Real and Complex Analysis. New York, McGraw-Hill, 1966.

Ementa: Ementa variável, estabelecida conforme o caso e aprovado pela Coordenação do programa.

Bibliografia:

Bibliografia variável, estabelecida conforme o caso e aprovado pela Coordenação do programa.

Ementa: Ementa variável, estabelecida conforme o caso e aprovado pela Coordenação do programa.

Bibliografia:

Bibliografia variável, estabelecida conforme o caso e aprovado pela Coordenação do programa.

Ementa: Grupos de homologia e cohomologia: simplexos e complexos. Sequˆencias exatas. Homologia relativa. Sequência de Mayer-Vietoris. Homologia simplicial: cálculo de grupos de homologia simplicial da esfera, do plano projetivo, da faixa de Mobius, do toro e da garrafa de Klein. Homologia singular: Invariância homotópica. Teorema de excisão. Cálculo de grupos de homologia singular. Comparação do teorema de Mayer-Vietoris com o teorema de Van Kampen. Aplicações da homologia. Grupos de homologia simplicial (singular) com coeficientes arbitrários. Cohomologia: Grupos de cohomologia simplicial (singular) com coeficientes arbitrários. Cálculo de grupos de cohomologia simplicial com coeficientes inteiros. Homomorfismos entre grupos de cohomologia singular induzidos por aplicações contínuas. Sequência de Mayer-Vietoris para grupos de cohomologia singular. Exemplos de uso da sequência de Mayer-Vietoris. Orientaçãao de variedades topológicas. Teorema de dualidade de Poincaré. Grupos de homotopia: Grupos de homotopia de dimensão n de espa¸cos topológicos. Cálculo do grupo de homotopia de dimensão 2 da esfera e de superfícies compactas. Sequências exatas de grupos de homotopia.

Bibliografia:

(a) E.L. Lima, Homologia Básica. Projeto Euclides, 2009.

(b) J. Munkres, Elements of Algebraic Topology. Prentice Hall, 1975.

(c) E.L. Lima, Grupo Fundamental e Espa¸cos de Recobrimento. SBM, 2006.

(d) W. Massey, A Basic Course in Algebraic Topology. Springer-Verlag, 1991.

Ementa: Propriedades elementares das funçõoes holomorfas, séries de potências, extensões de funções holomorfas, teorema de Hartogs, o operador d, cohomologia com formas diferenciais, domínios de holomorfia, convexidade holomorfa, funções plurisubharmônicas, domínios pseudoconvexos, teorema de Hormander, domínios pseudoconvexos com bordo diferenciável, forma de Levi.

Bibliografia:

(a) S. Chabat, Introduction a l’Analyse Complexe, vol. 2. Ed. MIR, Moscou, 1990.

(b) R. Gunning, Introduction to Holomorphic Functions of Several Variables, vol. 1. Belmont, Ed. Wadsworth, 1990.

(c) L. Hormander, An Introduction to Complex Analysis in Several Variables. Princeton, Ed. Van Nostrand, 1966.

Ementa: A ementa será fixada para cada um dos casos, devendo ser aprovada pela coordenação do curso de doutorado.

Bibliografia:

A bibliografia será fixada para cada um dos casos, devendo ser aprovada pela coordenação do curso de doutorado.