PPGMM-MG

Programa: Teoría básica: Anillos e ideales, series formales y enteros p-ádicos; Módulos, módulos graduados, álgebras, módulos libres; Sucesiones exactas. Operaciones con módulos y álgebras: suma directa, producto tensorial y exterior, producto simétrico. Localización, propiedades global-local, lema de Nakayama, bases mínimas; Normalización de Noether; Anillos y módulos noetherianos y artinianos; Primos asociados, descomposición primaria; Completación de anillos, teorema de Artin-Rees. Teoría de la dimensión, funciones de Hilbert; Temas adicionales: Anillos y módulos planares, profundidad; Anillos de Cohen-Macaulay, anillos normales y regulares, teorema de Serre-Auslander-Buchsbaum, complejo de Koszul.

Bibliografia:

(a) M. Atiyah, I. Macdonald, Introduction to Commutative Algebra. Reading, Mass., Addison-Wesley, 1969.

(b) H. Borges, E. Tegan, ´Algebra Comutativa em Quatro Movimentos. Projeto Euclides, IMPA, 2015.

(c) H. Matsumura, Commutative Algebra. Reading, Mass., Benjamin-Commings, 1980.

(d) O. Zariski, P. Samuel, Commutative Algebra, vols. 1, 2. New York, Van Nostrand, 1960.

Programa: Espacios vectoriales normados, espacios de Banach, propiedades y ejemplos de estos espacios, formas lineales, teorema de Hahn-Banach, operadores, teorema de acotación uniforme, teorema del grafo cerrado, teorema de la aplicación abierta, topología débil, espacios de Hilbert y sus propiedades, teoremas de representación de Riez y Lax-Milgran, operadores compactos y su teoría espectral.

Bibliografia:

(a) M. Reed, B. Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, vol. 1: Functional Analysis. Academic Press, New York, 1979.

(b) E. Kreysig, Introductory Functional Analysis with Applications. Wiley, New York, 1978.

(c) H. Brézis, Analyse Fonctionnelle. Masson, Paris, 1983.

(d) M. Schechter, Principles of Functional Analysis. New York, Academic Press, 1971.

(e) G. Botelho, D. Pellegrino, E. Teixeira. Fundamentos de Análise Funcional, Textos Universitários, SBM, 2015.

Programa: Resolución de sistemas lineales: métodos directos e iterativos. Resolución de ecuaciones no lineales: métodos de punto fijo, método de Newton. Interpolación polinómica (métodos de Lagrange y Hermite), splines polinomiales, estimación de errores. Integración numérica: métodos basados en polinomios y splines, cuadratura gaussiana, métodos basados en extrapolación (método de Romberg). Solución numérica de ecuaciones diferenciales ordinarias: problemas de valor inicial, métodos de un paso y de varios pasos. Solución numérica de ecuaciones diferenciales ordinarias: problemas de contorno, métodos de diferencias finitas y/o colocación y/o elementos finitos.

Bibliografia:

(a) J. Stoer, R. Bulirsch, Introduction to Numerical Analysis. Springer, Berlin, 1980.

(b) E. Isaacson, H. B. Keller, Analysis of Numerical Methods. Wiley, 1966.

(c) H.R. Schwarz, Numerical Analysis - a Comprehensive Introduction. John Wiley & Sons, 1989.

Programa: Puntos periódicos hiperbólicos: teorema de Hartman, teorema de la variedad estable, estabilidad, teorema de Kupka-Smale. Ejemplos clásicos: Anosov lineal, herradura de Smale. Conjuntos hiperbólicos: definición, continuidad de espacios, la hiperbolicidad es una propiedad abierta. Atractores hiperbólicos: atractor de Plykin, solenoide. Herramientas: teorema de la variedad estable, lema de la pendiente, lema de sombreado, estructura de producto local y clases homoclinas. Axiomas A: descomposición espectral, estabilidad Omega, explosiones Omega, particiones de Markov. Dinámica genérica: lema de Franks, lema de cierre y conexión (enunciado y consecuencias).

Bibliografia:

(a) A. Katok, B. Hasselblatt, Introduction to Modern Dynamical Systems. Cambridge University Press, 1995.

(b) M. Shub, Global Stability of Dynamical Systems. Springer-Verlag, 1987.

(c) J. Palis, W. de Melo, Introdução aos Sistemas Dinâmicos. IMPA, 1978.

Programa: Ecuaciones no lineales de primer orden. El problema de Cauchy para ecuaciones cuasilineales. Ecuación de Burgers y condición de choque (condición de Rankine-Hugoniot). Ondas de choque y ondas de rarefacción. Ecuaciones hiperbólicas de segundo orden. Propagación de singularidades. La ecuación de onda. Ecuaciones de aguas poco profundas. El teorema de Cauchy-Kowalevski, la identidad de Green y el teorema de unicidad de Holmgren. Soluciones débiles; distribuciones. Ecuaciones elípticas. Ecuación de Poisson para la presión o la función de corriente. Temas en análisis asintótico de EDP: análisis asintótico de soluciones, análisis asintótico de operadores. Aplicaciones de las leyes de conservación en varios modelos.

Bibliografia:

(a) R. Courant, D. Hilbert, Methods of Mathematical Physics, vol. II, Partial Differential Equations. Intersciense Publisher, 1953.

(b) F. John, Partial Differential Equations. Springer-Verlag, 1982.

(c) G.B. Whitham, Linear and Nonlinear Waves. Wiley-Interscience, 1974.

(d) R.B. Bird, W.E. Stewart, E.N. Lightfoot, Transport Phenomena. John Wiley & Sons, 1960.

(e) J. Smoller, Shock Waves and Reaction-Diffusion Equations, vol. 258. Springer Science & Business Media, 2012.

Programa: Ecuaciones de primer orden, método de las características, colisiones, soluciones débiles. Ecuación de Laplace: principio del máximo, problema de Dirichlet, solución fundamental, existencia y unicidad de soluciones, función de Green. Ecuación de Poisson: solución débil, existencia y unicidad. Ecuación del calor: solución fundamental, fórmula del valor medio, principio del máximo, unicidad, regularidad y existencia de soluciones, métodos energéticos. Ecuación de onda, método de promedios esféricos, principio de Duhamel, métodos energéticos. Transformada de Fourier en L2, teorema de Plancherel, propiedades básicas y aplicaciones.

Bibliografia:

(a) R. Courant, D. Hilbert, Methods of Mathematical Physics, vol. I, II. Wiley- Interscience, New York, 1953 e 1962.

(b) E. DiBenedetto, Partial Differential Equations. Birkhauser, Boston, 1995.

(c) L.C. Evans, Partial Differential Equations, second edition. Graduate Studies in Mathematics volume 19, AMS, 2010.

(d) J. John, Partial Differential Equations, 4th edition. New York, Springer, 1982.

Programa: Métricas riemannianas. Conexión afín, tensor de curvatura, derivada covariante de tensores. Geodésicas, flujo geodésico, mapeo exponencial, vecindades normales, coordenadas normales, propiedades minimizadoras de geodésicas. Campos jacobinos y puntos conjugados. El tensor de curvatura de Riemann, simetrías del tensor de curvatura, curvatura seccional, curvaturas de Ricci y escalares. Inmersiones isométricas: ecuaciones de Gauss, Ricci y Codazzi. Variedades completas, teorema de Hopf-Rinow, teorema de Hadamard. Espacios de curvatura constante. Variaciones de la longitud de arco, teorema de Bonnet-Myers, teorema de Synge, teorema de comparación de Rauch. Teorema del índice de Morse.

Bibliografia:

(a) M. Do Carmo, Geometria Riemanniana. Projeto Euclides, IMPA.

(b) S. Gallot, D. Hulin, J. Lafontaine, Riemannian Geometry. Universitext, Springer.

(c) W. Klingenberg, Riemannian Geometry. W. de Gruyter, Berlin.

(d) M. Lee, Riemannian Manifolds: an Introduction to Curvature. Graduate Texts in Mathematics, Springer.

(e) P. Petersen, Riemannian Geometry. Graduate Texts in Mathematics, Springer- Verlag.

Programa: Introducción: Propósitos de la inferencia estadística. Población y muestra. Muestra aleatoria. Parámetros y estadísticos. Distribuciones muestrales. Familias de distribuciones: familia de localización-escala y familia exponencial. Principio de reducción de datos: Estadísticos suficientes, estadísticos mínimos, estadísticos completos. Acilaridad. Suficiencia y completitud en la familia exponencial. Teorema de Basu. Estimación puntual: Conceptos de estimador. Métodos de estimación: método de los momentos, método de mínimos cuadrados y método de máxima verosimilitud. Propiedades deseables en un estimador: insesgadez y varianza mínima. Estimadores de varianza mínima uniformemente insesgados. Estimación de intervalos de confianza: Introducción, métodos para encontrar intervalos, métodos para comparar intervalos/intervalos óptimos e intervalos asintóticos. Prueba de hipótesis: El problema de la prueba de hipótesis. Hipótesis nula e hipótesis alternativa. Errores de tipo I y tipo II. Región crítica y región de aceptación. Nivel de significancia y valor p. Función de potencia. Métodos para encontrar pruebas: prueba de razón de verosimilitud y pruebas generalizadas de razón de verosimilitud. Métodos para evaluar pruebas: pruebas más potentes y pruebas uniformemente más potentes. Relación entre pruebas e intervalos de confianza. Pruebas asintóticas.

Bibliografia:

(a) P.J. Bickel, K.A. Doksum, Mathematical Statistics: Basic Ideas and Selected Topics, vol. I, second edition. Prentice Hall, 2000.

(b) G. Casella, R.L. Berger, Statistical Inference, second edition. DuxburyPress, 2002.

(c) R. Hogg, A. Craig, Introduction to Mathematical Statistics, 6th edition. Pearson Prentice Hall, 2005.

(d) H. Larson, Introduction to Probability Theory and Statistical Inference. New York, John Willey, 1969.

(e) A.M. Mood, F.A. Graybill, D.C. Boes, Introduction to the Theory of Statistics, third edition. New York, MacGraw-Hill Publishing Company, 1974.

(f) E. Lehmann, G. Casella, Theory of Point Estimation, second edition. Springer, New York, 1998.

(g) E. Lehmann, Testing Statistical Hypotheses, second edition. Springer, New York, 1997.

(h) Y. Pawitan, In All Likelihood: Statistical Modelling and Inference Using Likelihood. Oxford, Clarendon, New York, Oxford University Press, 2001.

Programa: Grupos de simetría (Galileo y Poincaré), mecánica clásica en la formulación con invariancia de reparametrización. Problemas variacionales (no) dinámicos, formalismo lagrangiano y hamiltoniano. Teoría de Dirac para sistemas con restricciones. Elementos de la relatividad general, variedades diferenciables, geometrías de Riemann, simpléctica y de Poisson. Sistemas hamiltonianos en variedades de Poisson e integrales de movimiento. Dinámica de partículas en el espacio curvo.

Bibliografia:

(a) V.I. Arnold, Mathematical Methods of Classical Mechanics, 2nd ed. Springer, New York, NY, 1989.

(b) D.M. Gitman, I.V. Tyutin, Quantization of Fields with Constraints. Springer, Berlin, 1990.

(c) A.A. Deriglazov, ClassicalMechanics: Hamiltonian and Lagrangian Formalism, 2nd ed. Springer, 2017.

(d) S. Weinberg, The Quantum Theory of Fields, vol. 1. Cambridge University Press, Cambridge, 1995.

(e) L.D. Landau, E.M. Lifshitz, The Classical Theory of Fields. Pergamon Press, Oxford, 1980.

(f) P.J. Olver, Applications of Lie Groups to Differential Equations. Springer, New York, NY, 1986.

(g) A.T. Fomenko, V.V. Trofimov, Integrable Systems on Lie Algebras and Symmetric Spaces, Series: Advanced Studies in Contemporary Mathematics. Gordon and Breach Science Publishers, 1988.

(h) A.M. Perelomov, Integrable Systems of Classical Mechanics and Lie Algebras, vol. 1. Birkhauser Verlag, 1990.

Programa: Familias de conjuntos y el Teorema de la Clase Monótona. Funciones medibles y espacios de probabilidad. Medidas de probabilidad, variables aleatorias y sus funciones de distribución. Teorema de extensión de Carathéodory, integración y propiedades de la integral. Esperanza matemática. Teoremas de convergencia. Independencia. Teorema de extensión de Kolmogorov. Esperanza condicional. Teorema de Radon-Nikodym. Convergencia en probabilidad y convergencia casi segura. Ley débil de los grandes números, lemas de Borel-Cantelli y ley fuerte de los grandes números. Convergencia en distribución, funciones características y sus propiedades, unicidad e inversión. Teorema de Lyapunov. Teorema de Lindeberg-Feller.

Bibliografia:

(a) P. Billingsley, Probability and Measure. Wiley, New York, 1995.

(b) K.L. Chung, A Course in Probability Theory, second edition. Academic Press, 1974.

(c) R. Durrett, Probability: Theory and Examples. Duxbury Press, 1988.

(d) W. Feller, An Introduction to Probability Theory and its Applications, vol. I, II, second edition. Wiley, 1971.

(e) B. James, Probabilidade: um Curso em Nível Intermediário. Projeto Euclides, 2004.

Programa: Anillos de enteros algebraicos, discriminantes, bases enteras, cuerpos cuadráticos y ciclotómicos, dominios de Dedekind, descomposición de ideales, extensiones de Galois de cuerpos numéricos, métodos geométricos, teorema de la unidad de Dirichlet, finitud del grupo de clases.

Bibliografia:

(a) D. Marcus, Number Fields. Springer-Verlag, 1977.

(b) O. Endler, Teoria de Números Algébricos. Projeto Euclides, 2014.

(c) A. Fr¨olich, M.J. Taylor, Algebraic Number Theory. Cambridge, 1991.

Programa: Conceptos básicos de sistemas dinámicos: órbitas, conjuntos límite, conjuntos no errantes, transitividad. Ejemplos. Medidas invariantes. Topología débil en el espacio de probabilidad. Teorema de Krillov-Bogolyubov. Teorema de Poincaré. Sistemas ergódicos únicos. Equidistribución. Ejemplos: rotación irracional, productos sesgados. Ergodicidad. Definición y caracterizaciones equivalentes. Ejemplos: automorfismos de toro. Desplazamientos de Bernoulli. Descomposición ergódica. Operador de Koopman. Teorema ergódico de Von Neumann. Teorema ergódico de Birkhoff. Aplicaciones: ley fuerte de los grandes números. Sistemas de mezcla. Equivalencia espectral de sistemas dinámicos. Teorema espectral para operadores unitarios. Sistemas con espectro absolutamente continuo. Procesos estocásticos y representación de sistemas dinámicos. Clasificación y jerarquía ergódica. Automorfismos de Kolmogorov. Entropía. Definición y propiedades básicas. Teorema de Sinai-Kolmogorov. Cálculo de la entropía. Teorema de Shannon-McMillan-Breiman.

Bibliografia:

(a) C. Gutierrez, Introducion a la Teoria Ergodica. Sociedad Matematica de Peru, 2009.

(b) R. Mané, Ergodic Theory and Differentiable Dynamics. Springer-Verlag, 1987.

(c) K. Petersen, Ergodic Theory. Cambridge University Press, 1983.

(d) P. Walters, An Introduction to Ergodic Theory. Spinger-Verlag, 1982.

Programa: Variedades diferenciables, subvariedades, teorema de incrustación de Whitney, formas diferenciales, integración de formas, teorema de Stokes, cohomología de De Rham, grado de Brower, invariancia homotópica, clasificación homotópica de aplicaciones, número de intersecciones, índices de singularidad de campos vectoriales, teorema de Poincaré-Hopf, teorema de Lefschetz, fibrados y fibrados vectoriales, operaciones con fibrados vectoriales, curvaturas y conexiones.

Bibliografia:

(a) M. Hirsch, Differential Topology. Graduate Texts in Mathematics, 33. Springer- Verlag, New York, 1994.

(b) E.L. Lima, Introdução à Topologia Diferencial. Rio de Janeiro, IMPA, 2005.

(c) I.B. Madsen, J. Tornehave, From Calculus to Cohomology. Cambridge University Press, 1997.

(d) J. Milnor, Topology from the Differentiable Viewpoint. Charlottesville, Princeton Univ. Press, 1969.

Programa: Variedades diferenciables, variedades con frontera, variedades orientables, inmersiones y subvariedades, transversalidad, particiones de la unidad y aplicaciones como la existencia de métricas riemannianas, ejemplos de fibrados vectoriales, fibrados tangentes y fibrados cotangentes, grupos de Lie, variedades cociente, variedades homogéneas. Campos vectoriales y teorema de Frobenius. Temas adicionales: Topología de Whitney, teorema de Sard y teorema de incrustación de Whitney.

Bibliografia:

(a) J. Lee, Introduction to Smooth Manifolds. Springer-Verlag, 2002.

(b) E.L. Lima, Variedades Diferenci´aveis, MON-15, IMPA,1973.

(c) M. Spivak, A Comprehensive Introduction to Differential Geometry, vol. 2. Publish or Perish, 1975.

(d) F. Warner, Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups. Springer- Verlag, 1983.

Programa: Anillos artinianos y noetherianos; Anillos y módulos simples y semisimples. Estructura de anillos semisimples: el teorema de Wedderburn-Artin; Estructura de anillos artinianos simples; El radical de Jacobson: sus diversas caracterizaciones y J-semisimplicidad; Álgebras centrales simples: extensiones escalares y semisimplicidad; el teorema de Skolem-Noether; el teorema de Frobenius. Anillos primitivos y el teorema de densidad de Jacobson. Introducción a la teoría PI: álgebras con identidades polinómicas, polinomios multilineales e ideales T; identidades y polinomios centrales en álgebras de matrices; Teorema de Kaplansky. Álgebras asociativas de dimensión finita y sus representaciones: álgebras de caminos; Teoría de Morita. Álgebras separables y el teorema de Wedderburn-Malcev.

Bibliografia:

(a) B. Farb, R.K. Dennis, Noncommutative Algebra. Springer-Verlag, 1993.

(b) T.Y. Lam, A First Course in Noncommutative Rings. GTM 31, Springer- Verlag, 2001.

(c) S. Lang, Algebra. GTM 211, Springer-Verlag, 2003.

(d) C.P. Milies, S.K. Sehgal, An Introduction to Group Rings. Kluwer Academic Publishers, 2002.

(e) F. Lorenz, Algebra, vol. 2. Springer-Verlag, 2006.

(f) A. Giambruno, M. Zaicev, Polynomial Identities and Asymptotic Methods. AMS, 2005.

Programa: Definiciones y ejemplos iniciales; Ideales y homomorfismos; Álgebras de Lie resolubles y nilpotentes; Teoremas de Engel y Lie; Álgebras de Lie semisimples; La forma de Killing; Criterio de Cartan; Espacios raíz y diagramas de Dynkin; Grupos de Weyl; Álgebras envolventes; Teorema de PBW; Representaciones de álgebras de Lie semisimples. Conexiones con grupos de Lie. Álgebras de Lie modulares y álgebras restringidas.

Bibliografia:

(a) J.E. Humphreys, Introduction to Lie Algebras and Representation Theory. Springer, 1994.

(b) L.A.B. San-Martin, Álgebras de Lie. Unicamp, 2010.

(c) R. Carter, Lie Algebras of Finite and Affine Type. Cambridge University Press, 2005.

(d) J. Dixmier, Enveloping Algebras. AMS, GSM 11.

(e) H. Strade, R. Farnsteiner, Modular Lie Algebras and Their Representations. Marcel Dekker, 1988.

Programa: Cálculo tensorial. Operador de Laplace-Beltrami. Fórmula de Bochner-Weitzenbock. Comparación laplaciana. Comparación de volumen de Bishop-Gromov. Teorema de descomposición de Cheeger-Gromoll. Estimación de gradiente de funciones armónicas. Teorema de tipo Yau-Liouville para variedades con curvatura de Ricci no negativa. Espectro laplaciano. Teoremas de comparación de valores propios. Teorema de rigidez de Cheng. Estabilidad de hipersuperficies mínimas. Métodos no lineales: Variacional, subsoluciones y supersoluciones, método de continuidad, ecuación del calor, grado de Leray-Schauder, técnicas de perturbación. Aplicaciones: Teoría de Hodge, curvatura gaussiana prescrita, problema de Dirichlet para superficies mínimas, flujo de Ricci en superficies, mapas armónicos. Otros temas.

Bibliografia:

(a) T. Aubin, Some Nonlinear Problems in Riemannian Geometry. Springer, 1998.

(b) D. Gilbarg, N.L. Trudinger, Elliptic Partial Differential Equations of Second Order, 3rd edition. Springer, 1998.

(c) J. Jost, Riemannian Geometry and Geometric Analysis. Berlin Heidelberg, New York, Springer-Verlag, 1995.

(d) P. Li, Lecture Notes on Geometric Analysis. University of California, 1992.

(e) R. Schoen, S.T. Yau, Lectures on Differential Geometry. International Press, 1994.

Programa: Fibrados cuasi-coherentes y coherentes; Fibrados de fibra; Cohomologías de Cech y Grothendieck, Teorema de anulación de Grothendieck; Cohomología de esquemas proyectivos, Teorema de Serre, Cohomología de fibra. Fibrado diferencial, criterio de suavidad, inmersiones regulares e intersección completa local. Fibrado canónico, Extgrupos y fibrados, Dualidad de Grothendieck. Divisores de Weil y Cartier, Sistemas lineales y morfismos. Explosión. Teorema de Riemann-Roch para curvas, Teorema de Grothendieck-Riemann-Roch. Temas adicionales.

Bibliografia:

(a) R. Hartshorne, Algebraic Geometry. Graduate Texts in Mathematics, Springer Verlag, 1997.

(b) Q. Liu, R. Erne, Algebraic Geometry and Arithmetic Curves. Oxford Graduate Texts in Mathematics, 2006.

Programa: Combinatoria enumerativa y teoría de grafos: Caminos, ciclos y árboles. Emparejamientos. Coloreados y número cromático. Inclusión-exclusión y retículos. Conteo de Pólya. Invariantes polinomiales de grafos. Combinatoria extremal y teoría de Ramsey: Teorema de Ramsey. Teoremas de Mantel y Turán. Teorema de Erdős-Stone. Estabilidad de Erdős-Simonovits. Método probabilístico: Introducción a la probabilidad discreta. Método del primer momento y modificaciones. Método del segundo momento. Grafos aleatorios. Conjeturas clásicas de la combinatoria moderna.

Bibliografia:

(a) M. Bóna, A Walk Through Combinatorics: an Introduction to Enumeration and Graph Theory. WPSC, 2011.

(b) B. Bollobás, Modern Graph Theory. Springer, 1998.

(c) J.A. Bondy, U.S.R. Murty, Graph Theory. Springer, 2008.

(d) R. Morris, R.I. Oliveira, Extremal and Probabilistic Combinatorics. IMPA, 2013.

(e) N. Alon, J. Spencer, The Probabilistic Method. Wiley, 2004.

(f) R. Stanley, Enumerative Combinatorics, vol. I. Cambridge, 2011.

Programa: Espacios de Sobole, aproximaciones por funciones suaves, extensión y teoremas de traza. Desigualdades de Gagliardo-Niremberg-Sobolev y Morrey. Teorema de compacidad de Rellich-Kondrachov. Desigualdad de Poincaré. Espacio H−1 y espacios que involucran el tiempo. Ecuaciones elípticas lineales de segundo orden: soluciones débiles, teorema de Lax-Milgram, estimaciones de energía, alternativa de Fredholm, regularidad, principio del máximo, desigualdad de Harnack y autovalores. Ecuaciones parabólicas lineales de segundo orden: soluciones débiles, regularidad y principio del máximo. Ecuaciones hiperbólicas lineales de segundo orden: soluciones débiles, regularidad y propagación de singularidades. Semigrupos: definición y propiedades elementales, teorema de Hille-Yosida y aplicaciones.

Bibliografia:

(a) H. Brézis, Analyse Fonctionnelle. Masson, Paris, 1983.

(b) L.C. Evans, Partial Differential Equations. AMS, Graduate Studies in Mathematics, 2010.

(c) D. Gilbarg, N.L. Trudinger, Elliptic Partial Differential Equations of Second Order, 3rd edition. Springer, 1998.

(d) J. Jost, Partial Differential Equations. Springer, Graduate Texts in Mathematics, 2013.

(e) G. Leoni, A First Course in Sobolev Space. AMS, Graduate Studies in Mathematics, 2009.

Programa: Foliaciones holomorfas: Foliaciones regulares, sistemas de Pfaff y foliaciones singulares, teorema de Baum-Kupka, foliaciones en espacios proyectivos; Integrabilidad de sistemas de Pfaff: teorema de integrabilidad de Jouanolou-Ghys, teorema de no existencia de variedades algebraicas invariantes; Clases características de foliaciones holomorfas: teorema de Baum-Bott, teorema de aniquilación de Bott, principio de localización de clases características, teorema generalizado del índice de Camacho-Sad; Rudimentos de la teoría de Mori foliada: foliaciones turbulentas de Riccati y fibraciones, modelo de Nef de una foliación, teorema de racionalidad de Miyaoka, foliaciones racionalmente conectadas; teorema de Frobenius-Demailly.

Bibliografia:

(a) M. Brunella, Birational Geometry of Foliations. Publicações Matemáticas do IMPA, Instituto de Matemática Pura e Aplicada, Rio de Janeiro, 2004.

(b) C. Camacho, A. Lins Neto, Teoria Geométrica das Folheações, Projeto Euclides, 1979.

(c) J.-P. Demailly, On the Frobenius Integrability of Certain Holomorphic p-Forms. Complex geometry (Gottingen, 2000), Springer, Berlin, 2002.

(d) J. Jouanolou, Équations de Pfaff Algébriques. Lecture Notes in Mathematics 708, 1979.

Programa: Parte clásica: Variedades afines y proyectivas, normalización de Noether, ascenso de Cohen-Seidenberg, teorema de los ceros de Hilbert, morfismos, aplicaciones racionales y birracionales, variedades suaves y espacio tangente, criterio jacobiano, explosión a lo largo de ideales, grassmannianos, polinomios de Hilbert, teorema de Bézout. Incrustaciones proyectivas. Introducción a los esquemas: Teoría básica de haces, espectros de anillos, espacios anillados, esquemas, morfismos de esquemas, esquemas proyectivos, noetherianos; esquemas reducidos y enteros; dimensión de esquemas, producto fibrado y cambio de base, morfismos separados, propios y proyectivos. Esquemas normales y regulares, criterio jacobiano, morfismos planos, dimensión fibrada, morfismos étale y suaves.

Bibliografia:

(a) R. Hartshorne, Algebraic Geometry. Graduate Texts in Mathematics, Springer Verlag, 1997.

(b) Q. Liu, Algebraic Geometry and Arithmetic Curves. Oxford Graduate Texts in Mathematics, 2006.

(c) D. Mumford, The Red Book of Varieties and Schemes. Lecture Notes in Mathematics, 1999.

Programa: Cálculo diferencial en variedades complejas: funciones holomorfas en variedades complejas, fibrados vectoriales, conexiones y curvatura, fibrados holomorfos; clases características mediante Chern-Wei; variedades de Kähler: identidades de Kähler, teoría de Hodge en variedades de Kähler, teorema duro de Lefschetz, teorema de inmersión de Kodaira.

Bibliografia:

(a) A. Neeman, Algebraic and Analytic Geometry. London Math. Soc. Lec. Note Series 345, 2007.

(b) J.-P. Demailly, Complex Analytic and Algebraic Geometry. Institut Fourier, 2012.

(c) P.A. Grifths, J. Harris, Principles of Algebraic Geometry. Wiley, New York, 1978.

Programa: Homotopía, espacios contráctiles. Homotopía relativa y por pares. Homotopía de caminos, grupo fundamental, espacios simplemente conexos, propiedades del grupo fundamental. Grupos fundamentales del círculo, de espacios proyectivos reales y complejos. Grupo fundamental de los grupos clásicos. Espacios recubridores, teorema fundamental de levantamiento, automorfismos recubridores. Teorema de Van Kampen y teorema de existencia de espacios recubridores y sus aplicaciones.

Bibliografia:

(a) E.L. Lima, Grupo Fundamental e Espaços de Recobrimento. Projeto Euclides, IMPA, 1998.

(b) W. Massey, A Basic Course in Algebraic Topology. Graduate Text in Mathematics 127, Springer-Verlag, New York, 1991.

(c) E.H. Spanier, Algebraic Topology. Springer, New York, 1966.

Programa: Grupos nilpotentes, caracterizaciones y series centrales (descendentes y ascendentes). p-grupos, series centrales en p-grupos. Grupos resolubles. El subgrupo de Frattini y sus caracterizaciones. Grupos de permutaciones, grupos de matrices, ejemplos de grupos simples. Representaciones complejas de grupos finitos; caracteres; ortogonalidad; carácter inducido; reciprocidad de Frobenius; integralidad; semisimplicidad y teorema de Maschke; teorema de Clifford. Teorema de Burnside sobre grupos de orden pa.qb. Caracteres modulares y representaciones. Formas sesquilineales; grupos clásicos. Extensiones de grupos.

Bibliografia:

(a) D.J.S. Robinson, A Course in the Theory of Groups, 2nd edition. Springer, 1996.

(b) G. James, M. Liebeck, Representations and Characters of Groups. Cambridge University Press, 2001.

(c) I.M. Isaacs, Character Theory of Finite Groups. Academic Press, 1976.

(d) L.C. Grove, Classical Groups and Geometric Algebra. American Mathematical Society, 2001.

(e) H. Kurzweil, B. Stellmacher, The Theory of Finite Groups (An Introduction). Springer, 2004.

Programa: Teoría clásica de Currie-Weiss (aproximación de campo medio) para sistemas ferromagnéticos, exponentes críticos. El modelo de Ising: estados de Gibbs a volumen infinito, desigualdades de correlación, diagramas de fase. Estados de equilibrio y ecuaciones de Dobrushin-Lanford-Ruelle: estados de equilibrio, teorema de unicidad de Dobrushin, decaimiento exponencial de correlaciones truncadas, analiticidad de la energía libre, aplicaciones al modelo de Ising a altas y bajas temperaturas. Otros temas: métodos de expansión en serie, teorema de Lee-Yang, expansión de clústeres, desigualdad de Simon-Lieb, modelos con simetría continua.

Bibliografia:

(a) S.Friedli, I, Velenik, Statistical Mechanics of Lattice Systems: A Concrete Mathematical Introduction, Cambridge University Press, 2017.

(b) B. Simon, The Statistical Mechanics of Lattice Gases, vol. I. Princeton University Press, Princeton, 1993.

(c) H.O. Georgii, Gibbs Measures and Phase Transitions. Walter de Gruyter, Berlin, 1988.

(d) R.B. Israel, Convexity in the Theory of Lattice Gases. Princeton University Press, Princeton, 1979.

(e) J. Glimm, A. Jaffe, Quantum Physics: a Functional Integral Point of View, 2nd edition. Springer, New York, 1987.

(f) D. Ruelle, Statistical Mechanics. W. A. Benjamin, London, 1969.

Programa: Fundamentos matemáticos de la mecánica cuántica; La ecuación de Schrödinger; Operadores autoadjuntos y espectro; El teorema espectral y sus aplicaciones; Dinámica cuántica; Comportamiento asintótico de las soluciones; Operadores de Schrödinger; Sistemas de muchas partículas; Análisis semiclasico; Estadística cuántica; Segunda cuantización; Sistemas desordenados; Análisis espectral; Cálculo de variaciones; Información y computación; Renormalización; Otros temas.

Bibliografia:

(a) S.J. Gustafson, I.M. Sigal, Mathematical Concepts of Quantum Mechanics, segunda edi¸c˜ao. Universitext, Springer, 2011.

(b) O. Buhler, A Brief Introduction to Classical, Statistical and Quantum Mechanics. Courant Series, Volume 13, AMS, 2006.

(c) C.R. de Oliveira, Intermediate Spectral Theory and Quantum Dynamics. Birkhauser, 2009.

(d) Hislop, Sigal, Introduction to Spectral Theory: With Applications to Schr¨odinger Operators. Springer, 1996.

Programa: Métodos variacionales: Método de minimización directa, Principio variacional de Ekeland, Lema de deformación, Teorema del paso de montaña, Principio general minimax, Desigualdades de Poincaré y Sobolev, Aplicaciones: Existencia para EDP elípticas y solución del problema de Yamabe. Métodos topológicos: Teoría del grado de Brouwer: dimensión finita, Teoría del grado de Leray-Schauder: dimensión infinita, Aplicaciones: Teoremas de punto fijo de Borsuk-Ulam y Brouwer-Schauder, Aplicaciones: Existencia para EDP elípticas.

Bibliografia:

(a) K. Deimling, Nonlinear Functional Analysis. Springer, 1985.

(b) L.C. Evans, Partial Differential Equations. AMS, 1998.

(c) I. Fonseca, W. Gangbo, Degree Theory in Analysis and Applications. Clarendon Press, Oxford, 1995.

(d) O. Kavian, Introduction a la Theorie des Points Critiques et Applications aux Problemes Elliptiques. Springer, 1993.

Programa: Cadenas de Markov: Matriz de transición, propiedad de Markov, ejemplos, recurrencia, transitoriedad y clasificación. Estados recurrentes positivos y cero. Equilibrio, medidas invariantes. Convergencia al equilibrio, acoplamiento. El teorema ergódico para cadenas de Markov. Martingalas: propiedades básicas, el teorema de muestreo opcional, desigualdad de Doob, desigualdad Lp. Teoremas de convergencia. Martingalas acotadas por L1. Martingalas cerradas y uniformemente integrables. Teorema de Lévy para martingalas inversas. Aplicaciones: Ley fuerte de los grandes números. Descomposición de Doob. Procesos estacionarios: transformaciones que preservan la medida, teorema de recurrencia. Teorema ergódico de Birkhoff. Transformaciones ergódicas y de mezcla. Aplicaciones. Convergencia débil: Motivación: paseo aleatorio y movimiento browniano. Medidas de probabilidad en espacios métricos. Teorema de Portmanteau, teorema de Prohorov. Compacidad débil y rigidez en C[0,1]. Construcción de la medida de Wiener y principio de invariancia de Donsker.

Bibliografia:

(a) P. Billingsley, Convergence of Probability Measures. Wiley, New York, 1968.

(b) P. Billingsley, Probability and Measure. Wiley, New York, 1995.

(c) L. Breiman, Probability. Classics in Applied Mathematics 07, SIAM, 1992.

(d) R. Durrett, Probability: Theory and Examples. Duxbury Press, 1988.

Programa: Martingalas de tiempo continuo: definiciones, ejemplos, teorema de convergencia, tiempos de parada, teorema de muestreo opcional, desigualdades fundamentales y aplicaciones; Procesos markovianos: la propiedad de Markov fuerte. Procesos de Feller; Integración estocástica: construcción de la integral estocástica, fórmula de Ito, teorema de Girsanov; Nociones de ecuaciones diferenciales estocásticas.

Bibliografia:

(a) R. Durrett, Stochastic Calculus: a Practical Introduction. Probability and Stochastic Series, CRC Press, 1996.

(b) H.-H. Kuo, Introduction to Stochastic Integration. Universitext, Springer, 2000.

(c) P. M¨orters, Y. Peres, Brownian Motion. Cambridge Series in Statistical and Probabilistic Mathematics, Cambridge, 2010.

Programa: Exponentes característicos y cociclos lineales. Exponentes de Lyapunov. Teorema de Oseledets. Ejemplos: cociclos de Schrödinger y el cociclo derivado. Teoría de Pesin. Variedades invariantes y sistemas hiperbólicos no uniformes. Ejemplos. Flujos hiperbólicos. El flujo geodésico en superficies de curvatura negativa. Ergodicidad: argumento de Hopf. Sistemas hamiltonianos y lagrangianos. Sistemas integrables. Aplicaciones de torsión. Ejemplos y propiedades. Tangencias homoclinas. El fenómeno de Newhouse. Sistemas robustamente transitivos. Mezcladores.

Bibliografia:

(a) R. Mané, Ergodic Theory and Differentiable Dynamics. Springer-Verlag, 1987.

(b) M. Viana, Lectures on Lyapunov Exponents. Springer, 2014.

(c) V.I. Arnold, Mathematical Methods of Classical Mechanics. Springer-Verlag, 1989.

(d) C. Ragazzo, M. Carneiro, S. Zanata, Introdução à Dinâmica de Aplicações Tipo Twist. CBM-IMPA, 2005.

(e) B. Hasselblatt, A. Katok, Introduction to the Modern Theory of Dynamical Systems. Cambridge University Press, 1995.

Programa: Definición de curvas algebraicas y superficies de Riemann, funciones meromorfas y diferenciales meromorfas, fórmula de Hurwitz, teorema de Riemann-Roch, teorema de Abel-Jacobi, aplicaciones, espacios recubridores y teorema de uniformización, relación con la geometría hiperbólica, relación entre superficies de Riemann y curvas algebraicas.

Bibliografia:

(a) H. Farkas, I. Kra, Riemann Surfaces. Berlin, Springer-Verlag, 1980.

(b) P.A. Griffiths, Introduction to Algebraic Curves. Boston, AMS, Trans. Math. Monographs, 76, 1989.

(c) O. Forster, Lectures on Riemann Surfaces. Graduate Texts in Mathematics, 81, Springer-Verlag, New York-Berlin, 1981.

(d) R. Miranda, Algebraic Curves and Riemann Surfaces. Graduate Studies in Mathematics, 5. American Mathematical Society, Providence, RI, 1995.

Ementa: Números primos infinitos, demostraciones y primeras cotas para pi(x); Funciones aritméticas, aditivas y multiplicativas, funciones: Möbius, totiente de Euler, von Mangoldt, divisores y suma de divisores; Producto de Dirichlet; Propiedades asintóticas y estimaciones; Integral logarítmica; Fórmula de la suma de Euler, sumas parciales, fórmula de Stirling; Método de convolución para aproximar funciones aritméticas, aplicaciones; Teorema de Hardy-Ramanujan sobre el número normal de divisores; Método de la hipérbola de Dirichlet, aplicaciones; Distribución de primos: estimación de Chebyshev, estimación de Mertens y Teorema de los números primos (enunciado), consecuencias; Cribas: de Eratóstenes, combinatoria de Brun; Criba grande; Criba de Turán, Criba de Selberg, aplicaciones; Temas adicionales: demostración del Teorema de los números primos, métodos de análisis complejo, función zeta de Riemann; Teorema de Dirichlet sobre los números primos en progresión aritmética.

Bibliografia:

(a) T.A. Apostol, Introduction to Analytic Number Theory. Undergraduate Texts in Mathematics, Springer, 2010.

(b) A.C. Cojocaru, M.R. Murty, An Introduction to Sieve Methods and Their Applications. London Mathematical Society Student Texts, 2010.

(c) G.H. Hardy, E.M. Wright, An Introduction on the Theory of Numbers. Oxford University Press, 2008.

Programa: Operadores lineales acotados y no acotados. Operadores integrales, operadores de multiplicación y operadores diferenciales. El teorema de extensión para operadores acotados. La transformada de Fourier en L1(Rn), S(Rn) y L2(Rn). Distribuciones de L. Schwartz, distribuciones temperadas y distribuciones con soporte compacto. Los espacios de Sobolev Hs(Rn). Aplicaciones a ecuaciones de evolución lineales y no lineales. Operadores cerrados, cerrables, simétricos y autoadjuntos. Resolvente y espectro. Integrales de Riemann-Stieltjes y Lebesgue-Stieltjes. El teorema espectral para operadores autoadjuntos en las formas de integrales espectrales, operadores de multiplicación y cálculo funcional. Teorema de Stone.

Bibliografia:

(a) M. Reed, B. Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, vols. I e II. Academic Press, New York, 1972-1978.

(b) R. Iorio Jr, Fourier Analysis and Partial Differential Equations. Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 2001.

(c) C.R. de Oliveira, Intermediate Spectral Theory and Quantum Dynamics. Birkh¨auser, Basel, Switzerland, 2009.

(d) E. Hille, Methods in Classical and Functional Analysis. Reading, Mass., Addison- Wesley Pub. Co., 1972.

(e) W. Rudin, Real and Complex Analysis. New York, McGraw-Hill, 1966.

Programa: Programa variable, que se establece caso por caso y es aprobado por el coordinador del programa.

Bibliografia:

Bibliografía variable, establecida caso por caso y aprobada por la Coordinación del Programa.

Programa: Programa variable, que se establece caso por caso y es aprobado por el coordinador del programa.

Bibliografia:

Bibliografía variable, establecida caso por caso y aprobada por la Coordinación del Programa.

Programa: Grupos de homología y cohomología: simplex y complejo. Sucesiones exactas. Homología relativa. Sucesión de Mayer-Vietoris. Homología simplicial: cálculo de grupos de homología simplicial de la esfera, el plano proyectivo, la cinta de Möbius, el toro y la botella de Klein. Homología singular: invariancia homotópica. Teorema de escisión. Cálculo de grupos de homología singular. Comparación del teorema de Mayer-Vietoris con el teorema de Van Kampen. Aplicaciones de la homología. Grupos de homología simplicial (singular) con coeficientes arbitrarios. Cohomología: Grupos de cohomología simplicial (singular) con coeficientes arbitrarios. Cálculo de grupos de cohomología simplicial con coeficientes enteros. Homomorfismos entre grupos de cohomología singular inducidos por aplicaciones continuas. Sucesión de Mayer-Vietoris para grupos de cohomología singular. Ejemplos de uso de la sucesión de Mayer-Vietoris. Orientación de variedades topológicas. Teorema de dualidad de Poincaré. Grupos de homotopía: grupos de homotopía n-dimensionales de espacios topológicos. Cálculo del grupo de homotopía bidimensional de la esfera y superficies compactas. Sucesiones exactas de grupos de homotopía.

Bibliografia:

(a) E.L. Lima, Homologia Básica. Projeto Euclides, 2009.

(b) J. Munkres, Elements of Algebraic Topology. Prentice Hall, 1975.

(c) E.L. Lima, Grupo Fundamental e Espa¸cos de Recobrimento. SBM, 2006.

(d) W. Massey, A Basic Course in Algebraic Topology. Springer-Verlag, 1991.

Programa: Propiedades elementales de las funciones holomorfas, series de potencias, extensiones de funciones holomorfas, teorema de Hartogs, el operador d, cohomología con formas diferenciales, dominios holomorfos, convexidad holomorfa, funciones plurisubarmónicas, dominios pseudoconvexos, teorema de Hormander, dominios pseudoconvexos con frontera diferenciable, forma de Levi.

Bibliografia:

(a) S. Chabat, Introduction a l’Analyse Complexe, vol. 2. Ed. MIR, Moscou, 1990.

(b) R. Gunning, Introduction to Holomorphic Functions of Several Variables, vol. 1. Belmont, Ed. Wadsworth, 1990.

(c) L. Hormander, An Introduction to Complex Analysis in Several Variables. Princeton, Ed. Van Nostrand, 1966.

Programa: El programa de estudios se determinará para cada caso y deberá ser aprobado por el coordinador del programa de doctorado.

Bibliografia:

La bibliografía se determinará para cada caso y deberá ser aprobada por el coordinador del programa de doctorado.